SACAR FACTOR COMÚN

Sacar factor común a un polinomio consiste en aplicar la propiedad distributiva.

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c)

Una raíz del polinomio será siempre x = 0

x³ + x² = x² (x + 1)

La raíces son: x = 0 y x = − 1

Doble extracción de factor común

x² − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)

¿CUAL ES EL FACTOR COMÚN DE 8a - 4b + 16c + 12d?

2 (2a - b + 4c + 3d)
4 (2a - b + 4c + 3d)
4 (3a - 2b + 4c + d)
4 (2a - 2b + 4c + 3d)

FACTOR COMÚN EN GRUPO

¿CUAL ES EL FACTOR COMÚN EN GRUPO DE 4a + 4b + xa + xb?

(a + b).(2 + x)
(a + b).(4 + y)
(a - b).(4 + x)
(a + b).(4 + x)

Trinomio cuadrado perfecto

Un trinomio cuadrado perfecto es el desarrollo de un un binomio al cuadrado.

a² + 2 a b + b² = (a + b)²

a² − 2 a b + b² = (a − b)²

Ejemplos

1x² − 2x + 1 =

= (x − 1)²

2x² − 6x + 9 =

= (x − 3)²

3x² − 20x + 100 =

= (x − 10)²

4x² + 10x + 25 =

= (x + 5)²

5x² + 14x +49 =

= (x + 7)²

^{DIGA CUAL ES ES EL TRINOMIO CUAL ES EL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO DE}x² + 6x + 9

(x + 2)³

(x + 2)²

(x + 3)²

(x + 3)³

Cubo perfecto

Un cubo perfecto es el resultado de multiplicar un número por sí mismo tres veces.

a · a · a= a³

También podemos decir que los cubos perfectos son los números que poseen raíces cúbicas exactas.

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375...

ELIJA EL RESULTADO DEL SIGUIENTE CUBO PERFECTO x³ + 6x² + 12x + 8

(x + 2)²

(x + 2)³

(x + 3)²

(x + 3)³

Diferencia de cuadrados

Una diferencia de cuadrados es igual a una suma por diferencia.

a² − b² = (a + b) · (a − b)

4x²− 25 = (2x)² − 5² = (2x + 5) · (2x - 5)

^{¿CUAL ES LA DIFENCIA CUADRATICA DE}x² - 9 ?

(x + 3).(x - 3)

(x + 3).(x + 3)

(x + 4).(x - 3)

(x - 3).(x - 3)

SUMA O RESTA DE POTENCIAS DE IGUAL GRADO

Propiedades de las potencias

Potencias de exponente cero

a⁰ = 1

6⁰ = 1

Potencias de exponente uno

a¹ = a

6¹ = 6

Signo

Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2⁶ = 64

(−2)⁶ = 64

Las potencias de exponente impar tiene el mismo signo de la base.

2³ = 8

(−2)³ = −8

Potencias de exponente entero negativo

Potencias de exponente racional

Potencias de exponente racional y negativo

Multiplicación de potencias con la misma base

a^m· a ⁿ= a^m+n

7⁵· 7²= 7⁵⁺²= 7⁷

División de potencias con la misma base

a^m: a ⁿ= a^{m - n}

7⁵: 7²= 7^{5 - 2}= 7³

Potencia de un potencia

(a^m)ⁿ=a^{m · n}

(7⁵)³ = 7¹⁵

Multiplicación de potencias con el mismo exponente

aⁿ· b ⁿ= (a · b) ⁿ

2³· 4³= 8³

División de potencias con el mismo exponente

aⁿ: b ⁿ= (a : b) ⁿ

6³: 3³= 2³

ELIJA LA RESPUESTA CORRECTA PARA x⁵ + 32

(x + 2).(x⁴ - 2x² - 4x² - 8x + 16)

(x + 2).(x⁴ - 2x³ - 4x² + 8x + 16)

(x - 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² + 8x + 16)

(x + 2).(x⁴ - 2x³ + 4x² - 8x + 16)

TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax² + bx + c, se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

a x² + bx +c = a · (x -x₁) · (x -x₂)

ELIJA LA RESPUESTA CORRECTA DE x² + 3x + 2

(x + 1).(x + 1)

(x + 2).(x + 2)

(x + 1).(x + 2)

(x + 1).(x - 2)

CASOS COMBINADOS DE FACORIZACIÓN

http://www.salvatruchos.com/foro/index.php?topic=2490.0

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

EJEMPLO 1:

Hay que factorizar todo lo que se pueda, tanto en el numerador como en el denominador. En el numerador apliqué el 5to Caso (Diferencia de Cuadrados); y en el denominador, el 1er Caso (Factor Común).
Luego, se simplifican los polinomios que "aparezcan repetidos", siempre tachando "uno de arriba con uno de abajo", como en este caso el binomio (x - 2).
Condición para simplificar: x desigual a 2.

CON RELACION AL EJEMPLO ANTERIOR ELIJA LA RESPUESTA DE

(x - 3)

(x + 2)

(x - 2)

(x + 3)

MULTIPLICACIÓN

se efectúa aplicando las reglas de la potenciación, de los signos, las propiedades asociativa y conmutativa del producto.

Como resultado del producto de monomios se obtiene otro monomio.
El coeficiente numérico del monomio resultante es igual al producto de los coeficientes de los monomios que intervienen en el producto.
La parte literal es formada por las mismas letras que intervienen en los monomios del producto, con el exponente de la respectiva literal igual a la suma de los exponentes.

Ejemplo:

1.-

2.-

3.-

ELIJA LA RESPUESTA CORRECTA PARA

1/(x+2)*(x-2)

1/(x+3)*(x+2)

1/(x+3)*(x-3)

1/(x+3)*(x-2)

División de expresiones algebraicas

Repaso de conceptos

Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos de operaciones.

Por ejemplo,

Suma de cuadrados: a² + b²

Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y

Suma de varias potencias de un número: a⁴ + a³ + a² + a

Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.

Clases de expresiones algebraicas:

1. Si una expresión algebraica está formada por un solo término se llama monomio.

Ejemplo: 3ax²

2. Si la expresión algebraica tiene varios términos se llama polinomio.

3. Cuando un polinomio esta formado por dos términos se llama binomio.

Ejemplo: 2x²+ 3xy

4. Cuando un polinomio esta formado por tres términos se llama trinomio.

Ejemplo: 5x²+ 4y⁵– 6x²y

División de monomios

Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes

Ejemplo:

División de un polinomio por un monomio

Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.

Ejemplo:

restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:

División de polinomios entre polinomios

La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;

Si se tiene la división

1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división:

2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–2x²) por el primer término del divisor (x):

3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.

4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior.

Se ha obtenido cociente –2x + 3 y resto 0

CUAL ES LA SOLUCIÓN CORRECTA DE

3-(x - 2)

3(x + 2)

2(x - 2)

3(x - 2)

SUMA Y RESTA

Suma: Sumamos términos semejantes es decir sumamos aquellos términos cuyas variables y exponentes sean iguales. Los pasos para hacer las suma son:

Paso 1: Elimine los paréntesis

Paso 2. Agrupe términos semejantes

Paso 3. Sume y reste los términos semejantes.

Ejemplo: Halla la suma de:

Has click aqui para practicar la suma de polinomios

Resta: Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes del los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.

Ejemplo: Resta los siguientes polinomios:

Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto o detrás un signo negativo, afecte los signos dentro del paréntesis cambiándolos por el opuesto y reemplaza el signo negativo que se encuentra antes del paréntesis por uno positivo.

Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo solo escriba los términos que están dentro del los paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + que entre los dos paréntesis.

Paso 3: Agrupe los términos semejantes es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.

Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.

Así que aplicando este concepto a la expresión entera tendríamos:

¿CUAL ES LA RESPUESTA DE LA SIGUIENTE SUMA

-3

-2

Operaciones con polinomios

Dados los polinomios $\scriptstyle P(x),\ Q(x),\ R(x)$ , de la forma general:

$P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + a_3 x^{3} + \dots + a_n x^n \,$

o de forma compacta mediante el Sumatorio de los términos del polinomio:

$P(x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i}$

podemos definir como operaciones con polinomios, las operaciones aritméticas o algebraicas, que partiendo de uno o más de esos polinomios nos da unos valores u otro polinomio, según la operación de que se trate.

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Para factorizar polinomios hay varios métodos:

Sacar factor común: Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, la propiedad distributiva dice:

Pues bien, si nos piden factorizar la expresión , basta aplicar la propiedad distributiva y decir que

Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes con factores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, si nos piden factorizar la expresión , será

donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18

Para comprobar si la factorización se ha hecho correctamente, basta efectuar la multiplicación, aplicando la propiedad distributiva de la parte derecha de la igualdad, y nos tiene que dar la parte izquierda.

Otro ejemplo: Factorizar

¡Atención a cuando sacamos un sumando completo!, dentro del paréntesis hay que poner un uno. Tener en cuenta que si hubiéramos puesto y quiero comprobar si está bien, multiplico y me da pero no como me tendría que haber dado.